Matugunan ang Four-Dimensional Numbers Na Nagtutulak sa Modern Algebra


Isipin ang pagpasok sa oras na kamay ng isang orasan pabalik mula 3 ng umaga hanggang tanghali. Matagal nang kilala ng mga mathematician kung paano ilarawan ang pag-ikot na ito bilang isang simpleng pagpaparami: Ang isang bilang na kumakatawan sa unang posisyon ng oras na kamay sa eroplano ay pinarami ng isa pang pare-pareho na numero. Ngunit ito ay isang katulad na trick posible para sa naglalarawan ng pag-ikot sa espasyo? Sinasabi ng common sense na oo, ngunit si William Hamilton, isa sa mga pinaka-produktibong mathematicians ng ika-19 na siglo, ay struggled para sa higit sa isang dekada upang mahanap ang matematika para sa naglalarawan ng pag-ikot sa tatlong sukat. Ang hindi posibleng solusyon ang humantong sa kanya sa ikatlo ng apat na mga sistema lamang na sumunod sa isang malapit na analog ng standard na aritmetika at tumulong tumulak ang pagtaas ng modernong algebra.

Ang tunay na mga numero ay bumubuo sa unang sistema ng bilang na iyon. Ang isang pagkakasunud-sunod ng mga numero na maaaring mag-utos mula sa hindi bababa hanggang sa pinakadakilang, ang reals ay kinabibilangan ng lahat ng pamilyar na mga character na natutunan namin sa paaralan, tulad ng -3.7, ang parisukat na ugat ng 5, at 42. Ang mga algebraist ng Renaissance ay natumba sa ikalawang sistema ng mga numero na maaaring idinagdag, binabawasan, pinarami at hinati nang napagtanto nila na ang paglutas ng ilang mga equation ay humingi ng isang bagong numero, ako, na hindi magkasya saanman sa tunay na linya ng numero. Kinuha nila ang mga unang hakbang sa linya na iyon at sa "kumplikadong eroplano," kung saan nakaliligaw na pinangalanang "haka-haka" ang bilang ng mag-asawa na may mga tunay na numero tulad ng mga malalaking titik na may pares na mga numero sa laro ng Battleship. Sa mundong ito, ang "kumplikadong mga numero" ay kumakatawan sa mga arrow na maaari mong i-slide sa paligid sa karagdagan at pagbabawas o i-on at mag-abot sa multiplikasyon at dibisyon.

Ang Hamilton, ang dalub-agalan ng Irish at ang pangalan ng operator ng "Hamiltonian" sa mga klasikong at quantum mechanics, ay umaasa na umakyat sa kumplikadong eroplano sa pamamagitan ng pagdaragdag ng isang haka-haka na axis. Ito ay magiging tulad ng Milton Bradley na nagiging "Battleship" sa "Battlesubmarine" na may haligi ng mga maliliit na titik na letra. Ngunit may isang bagay na tungkol sa tatlong sukat na sinira ang bawat sistema na maaaring isipin ni Hamilton. "Dapat na sinubukan niya ang milyun-milyong bagay at wala sa kanila ang nagtrabaho," sabi ni John Baez, isang dalub-agbilang sa University of California, Riverside. Ang problema ay multiplikasyon. Sa kumplikadong eroplano, ang pagpaparami ay gumagawa ng mga pag-ikot. Hindi mahalaga kung paano sinubukan ni Hamilton na tukuyin ang multiplikasyon sa 3-D, hindi siya makahanap ng isang magkasalungat na dibisyon na palaging nagbabalik ng makabuluhang mga sagot.

Upang makita kung bakit mas magaan ang pag-ikot ng 3-D, ihambing ang pag-ikot ng manibela na may umiikot na globo. Ang lahat ng mga punto sa gulong ay magkakasama sa parehong paraan, kaya't pinarami sila ng parehong (kumplikadong) numero. Ngunit ang mga punto sa mundo ay mabilis na lumilibot sa ekwador at mas mabagal habang lumilipat ka sa hilaga o timog. Crucially, ang pole ay hindi nagbabago sa lahat. Kung ang 3-D rotations ay nagtrabaho tulad ng 2-D rotations, ipinaliwanag ni Baez, ang bawat punto ay lilipat.

Ang solusyon, na kung saan ang isang nakakalito Hamilton pormal na inukit sa Dublin's Broome Bridge kapag sa wakas siya pindutin kanya sa Oktubre 16, 1843, ay upang ilagay ang globo sa isang mas malaking espasyo kung saan ang pag-ikot kumilos nang higit pa tulad ng ginagawa nila sa dalawang sukat. Sa hindi dalawa ngunit tatlong haka-haka axes, i, j at k, kasama ang tunay na linya ng numero a, maaaring matukoy ni Hamilton ang mga bagong numero na tulad ng mga arrow sa puwang ng 4-D. Tinawag niya silang "quaternions." Sa takipsilim, nilagyan ni Hamilton ng isang pamamaraan para sa umiikot na mga arrow na 3-D: Ipinakita niya na ang mga ito ay maaaring isipin na pinasimple na mga quaternion na nilikha sa pamamagitan ng pagtatakda ng isang, ang tunay na bahagi, katumbas ng zero at pagsunod lamang ang mga haka-haka na sangkap na i, j at k – isang trio kung saan imbento ni Hamilton ang salitang "vector." Ang pag-rotate ng isang 3-D na vector ay nangangahulugan ng pagpaparami nito sa pamamagitan ng isang pares ng buong 4-D quaternions na naglalaman ng impormasyon tungkol sa direksyon at antas ng pag-ikot. Upang makita ang pagpaparami ng quaternion sa pagkilos, panoorin ang bagong inilabas na video sa ibaba ng sikat na matematika animator 3Blue1Brown.

Ang lahat ng maaari mong gawin sa tunay at kumplikadong mga numero, maaari mong gawin sa mga quaternion, maliban sa isang walang pasubali pagkakaiba. Samantalang ang 2 × 3 at 3 × 2 ay parehong pantay na 6, ang mga bagay ng order para sa quaternion multiplikasyon. Ang mga mathematician ay hindi kailanman nakaranas ng pag-uugali na ito sa mga numero bago, kahit na ito ay nagpapakita kung paano ang araw-araw na bagay ay paikutin. Ilagay ang mukha ng iyong telepono sa isang patag na ibabaw, halimbawa. Paikutin ito 90 degrees sa kaliwa, at pagkatapos ay i-flip ito ang layo mula sa iyo. Tandaan kung aling paraan ang mga puntos ng camera. Bumalik sa orihinal na posisyon, i-flip ito mula sa iyo muna at pagkatapos ay i-on ito sa kaliwang segundo. Tingnan kung paano ang punto ng camera sa halip sa halip? Ang simula ng alarmang ari-arian, na kilala bilang non-commutativity, ay nagiging isang tampok na ibinahagi ng quaternions sa katotohanan.

Subalit ang isang bug ay lurked sa loob ng bagong sistema ng numero din. Habang ang isang telepono o arrow ay lumiliko ang lahat sa paligid sa 360 degrees, ang quaternion na naglalarawan sa 360-degree na pag-ikot na ito ay lumiliko lamang 180 degrees sa apat na dimensyon na espasyo. Kailangan mo ng dalawang buong pag-ikot ng telepono o arrow upang dalhin ang nauugnay na quaternion pabalik sa paunang estado nito. (Ang paghinto pagkatapos ng isang pagliko umalis sa quaternion Baliktad, dahil sa ang paraan haka-haka numero parisukat sa -1.) Para sa isang bit ng intuwisyon tungkol sa kung paano ito gumagana, tingnan ang umiikot na kubo sa itaas. Ang isang pagliko ay naglalagay ng twist sa nakalakip na mga sinturon habang ang ikalawa ay pinapalakas muli. Ang mga quaternion ay kumikilos nang katulad.

Ang mga pataas na arrow ay gumawa ng mga hindi totoong mga negatibong senyales na maaaring magwasak ng pisika, kaya halos 40 taon matapos ang paninira ng tulay ng Hamilton, ang mga pisiko ay nagpunta sa digmaan sa isa't isa upang panatilihin ang sistema ng quaternion mula sa pagiging standard. Naganap ang mga labanan kapag ang isang propesor ng Yale na nagngangalang Josiah Gibbs ay tinukoy ang modernong vector. Ang pagpapasya sa ika-apat na dimensyon ay lubusang labis na problema, Gibbs ay pinutol ang paglikha ni Hamilton sa pamamagitan ng pagbagsak ng isang salitang kabuuan: Ang Gibbs 'quaternion-spinoff ay nag-iingat ng notasyon ng i, j, k ngunit binuwag ang mahirap na tuntunin para sa multiply quaternions sa magkakahiwalay na operasyon para sa pagpaparami ng mga vector na natututunan ng bawat undergraduate ng matematika at physics ngayon: ang dot na produkto at ang krus na produkto. Ang mga disipulo ni Hamilton ay may label na ang bagong sistema ay isang "halimaw," habang pinipinsala ng mga tagahanga ng vector ang mga quaternion bilang "nakagagalit" at isang "di-nakikitang kasamaan." Ang debate ay gumagalaw sa loob ng maraming taon sa mga pahina ng mga journal at mga polyeto, ngunit sa wakas ay dinala ang mga vector sa tagumpay .

Ang mga quaternion ay mag-aalala sa anino ng mga vectors hanggang ang mekanika ng quantum ay nagsiwalat ng kanilang tunay na pagkakakilanlan noong 1920s. Habang ang normal na 360 degrees ay sapat na upang ganap na paikutin ang mga photon at iba pang puwersa na particle, ang mga electron at lahat ng iba pang mga particle na bagay ay tumagal ng dalawang liko upang bumalik sa kanilang unang estado. Ang sistema ng bilang ng Hamilton ay naglalarawan ng mga hindi pa natuklasang mga nilalang, na kilala ngayon bilang "spinors," lahat ng kasama.

Gayunpaman, hindi pinatutunayan ng mga physicist ang quaternion sa kanilang pang-araw-araw na kalkulasyon, dahil ang isang alternatibong pamamaraan para sa pagharap sa spinors ay natagpuan batay sa mga matrices. Sa nakalipas na ilang dekada, may mga quaternion ang nakaranas ng isang rebaybal. Bilang karagdagan sa kanilang pag-aampon sa mga graphics ng computer, kung saan naglilingkod sila bilang mahusay na mga tool para sa pagkalkula ng mga pag-ikot, ang mga quaternion ay naninirahan sa geometry ng mas mataas na dimensional na mga ibabaw. Ang isang ibabaw sa partikular, na tinatawag na hyperkähler manifold, ay may nakakaintriga na tampok na pinapayagan ka nito na magsalin-balik sa pagitan ng mga pangkat ng mga vectors at mga pangkat ng mga spinors – na pinagsasama ang dalawang panig ng digmaan ng vector-algebra. Dahil ang mga vectors ay naglalarawan ng mga particle ng puwersa habang ang mga spinor ay naglalarawan ng mga bagay na particle, ang property na ito ay may matinding interes sa mga physicist na nagtataka kung ang isang mahusay na simetrya sa pagitan ng bagay at pwersa, na tinatawag na supersymmetry, ay umiiral sa kalikasan. (Gayunpaman, kung ito ay, ang mahusay na simetrya ay kailangang malubhang nasira sa ating uniberso.)

Para sa mga mathematicians, samantala, quaternions hindi kailanman talagang nawala ang kanilang mga shine. "Sa sandaling imbento ni Hamilton ang quaternions, lahat at ang kanyang kapatid ay nagpasya na gumawa ng kanilang sariling sistema ng numero," sabi ni Baez. "Karamihan ay ganap na walang silbi, ngunit sa kalaunan … pinangunahan nila ang itinuturing na ngayon bilang modernong algebra." Sa ngayon, ang mga abstract algebraist ay nag-aaral ng isang malawak na hanay ng mga sistema ng bilang sa anumang bilang ng sukat at sa lahat ng uri ng mga kakaibang katangian.
Ang isang hindi pantay na pagtatayo ay naging pang-apat at pangwakas na sistema ng numero na nagpapahintulot sa isang multiplikasyon na analog at isang nauugnay na dibisyon, na natuklasan sa ilang sandali pagkatapos ng mga quaternion ng kaibigan ni Hamilton na si John Graves. Ang ilang mga pisiko ay nag-alinlangan na ang mga kakaibang, walong-dimensional "octonion" ay maaaring maglaro ng malalim na papel sa mga pangunahing pisika.

"Sa tingin ko ay marami pang iba upang matuklasan ang tungkol sa geometry batay sa quaternions," sabi ni Nigel Hitchin, isang geometer sa University of Oxford, "ngunit kung gusto mo ng isang bagong hangganan, pagkatapos ito ay ang mga octonions."


Higit pang mga Great WIRED Stories